Задача
ALG-B2-M11-P001 Nesbitt как Cauchy
#1
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac32.\]
Подсказка. Запишите \(\frac{a}{b+c}\) как \(\frac{a^2}{a(b+c)}\).
По Cauchy, \[\sum\frac{a}{b+c}=\sum\frac{a^2}{a(b+c)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}.\] Так как \((a+b+c)^2\ge3(ab+bc+ca)\), получаем нижнюю оценку \(3/2\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.