Задача
ALG-B2-M11-P002 Половина суммы
#2
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}.\]
Подсказка. Сумма знаменателей равна \(2(a+b+c)\).
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{a+b}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}.\]
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.