Задача
ALG-B2-M11-P004 Две суммы при фиксированном произведении
#4
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(a,b,c>0\) и \(abc=1\). Докажите \[a+b+c+ab+bc+ca\ge6.\]
Подсказка. Оцените отдельно \(a+b+c\) и \(ab+bc+ca\).
Из \(abc=1\) по AM-GM имеем \(a+b+c\ge3\). Также \(ab\cdot bc\cdot ca=(abc)^2=1\), значит \(ab+bc+ca\ge3\). Складывая, получаем \(6\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.