Задача
ALG-B2-M11-P006 Квадраты в цикле
#6
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\frac{a^2}{a^2+b^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}\ge1.\]
Подсказка. Положите \(x=a^2\), \(y=b^2\), \(z=c^2\) и приведите \(\sum x/(x+y)-1\) к общему знаменателю.
Достаточно доказать для \(x,y,z>0\), что \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\ge1\). После приведения к общему знаменателю \((x+y)(y+z)(z+x)\) числитель разности равен \(xyz+x^2y+xz^2+y^2z\), что положительно. Берём \(x=a^2\), \(y=b^2\), \(z=c^2\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.