Задача
ALG-B2-M11-P008 Куб и квадратный знаменатель
#8
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{a+b+c}{3}.\]
Подсказка. Докажите локально \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\).
Для \(x,y>0\) имеем \[3x^3-(2x-y)(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2(x+y)\ge0.\] Поэтому \(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{2x-y}{3}\). Суммируя для \((a,b)\), \((b,c)\), \((c,a)\), получаем \(\frac{2a-b+2b-c+2c-a}{3}=\frac{a+b+c}{3}\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.