Задача
ALG-B2-M11-P009 Три сдвинутых знаменателя
#9
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac1{a+2}+\frac1{b+2}+\frac1{c+2}\ge1.\]
Подсказка. Примените Cauchy к числителям \(1,1,1\).
По Cauchy, \[\sum\frac1{a+2}\ge\frac{(1+1+1)^2}{a+b+c+6}=\frac9{9}=1.\]
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.