Задача
ALG-B2-M11-P011 Оценка касательной
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\frac1{1+a^2}+\frac1{1+b^2}+\frac1{1+c^2}\ge\frac32.\]
Подсказка. Докажите \(\frac1{1+x^2}\ge\frac{2-x}{2}\) для \(x\ge0\).
Для \(x\ge0\), \[\frac1{1+x^2}-\frac{2-x}{2}=\frac{x(x-1)^2}{2(1+x^2)}\ge0.\] Суммируя при \(x=a,b,c\), получаем \[\sum\frac1{1+a^2}\ge\frac{6-(a+b+c)}2=\frac32.\]
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.