Задача
ALG-B2-M11-P012 Корни от пар
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(a,b,c\ge0\), \(a+b+c=3\). Докажите \[\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+bc+c^2}+\sqrt{c^2+ca+a^2}\ge3\sqrt{3}.\]
Подсказка. Сравните \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\) с \(\frac{\sqrt{3}}2(x+y)\).
Так как \[x^2+xy+y^2-\frac34(x+y)^2=\frac14(x-y)^2\ge0,\] то \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}}2(x+y)\). Суммируя по парам \((a,b)\), \((b,c)\), \((c,a)\), получаем \(\frac{\sqrt{3}}2\cdot2(a+b+c)=3\sqrt{3}\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.