Задача
ALG-B2-M11-P016 Обратный трёхчлен
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(A x^2+Bx+C>0\) для всех действительных \(x\). Докажите, что \(C x^2+Bx+A>0\) для всех действительных \(x\).
Подсказка. Используйте знак ведущего коэффициента и дискриминант.
Из условия следует \(A>0\). Кроме того, \(C=P(0)>0\), а дискриминант \(B^2-4AC<0\). Для трёхчлена \(C x^2+Bx+A\) ведущий коэффициент положителен, а дискриминант тот же: \(B^2-4CA<0\). Следовательно, он положителен при всех действительных \(x\).
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.