Задача
ALG-B2-M11-P015 Сложный знаменатель
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c>0\): \[\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a^2}{b^2+c^2+a(b+c)}\ge\frac12.\]
Подсказка. Найдите сумму всех знаменателей.
По Cauchy, \[\sum\frac{a^2}{b^2+c^2+a(b+c)}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)^2}=\frac12.\]
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.