Задача
ALG-B2-M11-P019 Schur пятой степени
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите при \(a,b,c\ge0\): \[\sum a^5+abc(a^2+b^2+c^2)\ge\sum_{\mathrm{sym}}a^4b.\]
Подсказка. Используйте Schur в форме \(\sum a^3(a-b)(a-c)\ge0\).
По Schur, \[\sum a^3(a-b)(a-c)\ge0.\] При раскрытии получаем \[\sum a^5+abc(a^2+b^2+c^2)-\sum_{\mathrm{sym}}a^4b\ge0,\] что эквивалентно требуемому неравенству.
Методическая цель: ученик должен сначала распознать тип оценки, а уже потом выбирать инструмент.