Задача
ALG-B3-M01-P011 Квадратная добавка с нормировкой
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy\), \(f(2)=4\). Найдите \(f\).
Подсказка. Вычтите \(x^2\).
Положим \(g(x)=f(x)-x^2\). Тогда \(g(x+y)=g(x)+g(y)\). Кроме того, \(g(2)=f(2)-4=0\), значит \(g(1)=0\). На \(\mathbb Q\) получаем \(g(q)=0\), поэтому \(f(q)=q^2\). Проверка: \((x+y)^2=x^2+y^2+2xy\).
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.