Задача
ALG-B3-M01-P020 Почему проверка обязательна
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Для \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) рассматривается уравнение \(f(x+y)=f(x)+f(y)+xy\). Докажите, что если \(f(x)=\frac{x^2}{2}+A(x)\), где \(A\) аддитивна, то \(f\) является решением. Объясните, почему на \(\mathbb R\) это не сводится только к многочленам.
Подсказка. Подставьте формулу и используйте \(A(x+y)=A(x)+A(y)\).
Имеем \(f(x+y)=\frac{(x+y)^2}{2}+A(x+y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+xy+A(x)+A(y)=f(x)+f(y)+xy\). Если \(A\) - произвольная аддитивная функция на \(\mathbb R\), она не обязана быть линейной без условий регулярности. Поэтому множество решений шире, чем только квадратичные многочлены.
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.