Задача
ALG-B3-M01-P019 Кубическая добавка
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)\), \(f(1)=1\). Найдите \(f\).
Подсказка. Используйте тождество \((x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)\).
Положим \(g(x)=f(x)-x^3\). Тогда \(g(x+y)=g(x)+g(y)\), потому что кубическая добавка полностью вычитается. Кроме того, \(g(1)=0\), значит на \(\mathbb Q\) имеем \(g(q)=0\). Следовательно, \(f(q)=q^3\). Проверка следует из указанного тождества.
Цель: отделить угадывание ответа от полного доказательства и проверки области определения.