Задача
ALG-B3-M02-P010 Сдвиг под итерацией
#10
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все строго возрастающие \(f:\mathbb N\to\mathbb N\), для которых \(f(f(n))=n+2\) при всех \(n\in\mathbb N\).
Подсказка. Сравните \(f(n)\) с \(n\) и \(n+1\).
Так как \(f\) строго возрастает и принимает натуральные значения, \(f(n)\ge n\). Если \(f(k)\ge k+2\), то \(f(f(k))\ge f(k+2)\ge f(k)+2\ge k+4\), противоречие. Значит \(f(n)\le n+1\). Равенство \(f(n)=n\) невозможно, иначе \(f(f(n))=n\). Следовательно, \(f(n)=n+1\), и эта функция подходит.
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.