Задача
ALG-B3-M02-P009 Разность квадратного типа
#9
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)-f(x-y)=4xy\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\). Найдите \(f\).
Подсказка. Проверьте \(f(q)=q^2\), затем вычтите \(q^2\).
Положим \(g(x)=f(x)-x^2\). Тогда \(g(x+y)=g(x-y)\) для всех \(x,y\). Выбирая \(u=x+y\), \(v=x-y\), получаем \(g(u)=g(v)\) для любых рациональных \(u,v\) одной чётности относительно деления на \(2\), а на \(\mathbb Q\) это означает для всех \(u,v\). Значит \(g\) постоянна. Так как \(g(0)=0\), \(g\equiv0\), и \(f(q)=q^2\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.