Задача
ALG-B3-M02-P012 Кубическая добавка
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y)\), \(f(1)=4\). Найдите \(f\).
Подсказка. Вычтите \(x^3\).
Пусть \(g(x)=f(x)-x^3\). Так как \((x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)\), функция \(g\) аддитивна. Кроме того, \(g(1)=3\), поэтому \(g(q)=3q\) на \(\mathbb Q\). Следовательно, \(f(q)=q^3+3q\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.