Задача
ALG-B3-M02-P013 Две половины
#13
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+8y^2\), \(f(0)=0\), \(f(1)=2\). Найдите \(f\).
Подсказка. Вычтите \(2x^2\).
Положим \(g(x)=f(x)-2x^2\). Тогда \(g(x+y)+g(x-y)=2g(x)\). При \(x=0\): \(g(y)+g(-y)=0\). При \(x=(u+v)/2\), \(y=(u-v)/2\): \(g(u)+g(v)=2g((u+v)/2)\). На \(\mathbb Q\) это уравнение Йенсена вместе с \(g(0)=0\), \(g(1)=0\) даёт \(g\equiv0\). Поэтому \(f(q)=2q^2\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.