Задача
ALG-B3-M02-P015 Ограниченность после подстановки
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и \(f(x)\ge -1\) для всех \(x\in[0,1]\). Докажите, что \(f(x)=cx\) для некоторого \(c\in\mathbb R\).
Подсказка. Из нижней оценки получите и верхнюю оценку на малом интервале.
Для \(t\in[0,1]\) имеем \(f(t)\ge-1\), а также \(f(t)=f(1)-f(1-t)\le f(1)+1\). Значит \(f\) ограничена на \([0,1]\). Аддитивная функция, ограниченная на интервале, непрерывна в нуле, а потому линейна: \(f(x)=xf(1)\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.