Задача
ALG-B3-M02-P016 Произведение внутри функции
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), если \(f(xy)=x f(y)+y f(x)\) для всех \(x,y\in\mathbb Q\) и \(f(2)=0\).
Подсказка. Подставьте \(y=1\), затем \(x=2\).
При \(y=1\): \(f(x)=x f(1)+f(x)\), значит \(f(1)=0\). При \(x=2\): \(f(2y)=2f(y)+y f(2)=2f(y)\). С другой стороны, применяя уравнение к \(x=2\), новой информации нет. Возьмём \(y=x\): \(f(x^2)=2x f(x)\). На \(\mathbb Q^{+}\) это оставляет много кандидатов без дополнительных условий; но условие \(f(2)=0\) не фиксирует функцию полностью. Например, \(f\equiv0\) подходит, и \(f(x)=x\log_2|x|\) на положительных степенях \(2\) с продолжением по простым показателям также показывает неединственность. В рамках рациональных мультипликативных разложений все решения задаются выбором значений на простых числах: \(f(n)=nD(n)\), где \(D\) аддитивна по умножению, \(D(xy)=D(x)+D(y)\), и \(D(2)=0\).
Цель: выбрать правильную первую подстановку и затем обязательно проверить найденную функцию.