Задача
ALG-B3-M02-P022 Квадратный трёхчлен на полуоси
Квадратный трёхчлен \(p(x)\) имеет два различных действительных корня и для любых действительных \(u,v\) выполнено \[p(u^2+4v^2)\ge p(4uv).\] Докажите, что хотя бы один корень \(p\) отрицателен.
Подсказка 1. Покажите, что для любых \(0\le r\le q\) можно получить \(r=4uv\), \(q=u^2+4v^2\).
Подсказка 2. Значит \(p\) не убывает на неотрицательной полуоси.
Положим \(a=u\), \(b=2v\). Тогда условие имеет вид \(p(a^2+b^2)\ge p(2ab)\). Для любых \(0\le r\le q\) существуют неотрицательные \(a,b\) с \(2ab=r\), \(a^2+b^2=q\): достаточно взять \(a=\frac{\sqrt{q+r}+\sqrt{q-r}}{2}\), \(b=\frac{\sqrt{q+r}-\sqrt{q-r}}{2}\). Поэтому \(p(q)\ge p(r)\) при \(0\le r\le q\); значит \(p\) не убывает на \([0,\infty)\). Если оба корня были бы неотрицательны, то между ними парабола меняет знак, а после большего корня снова меняет знак; такая квадратичная функция не может быть неубывающей на всей \([0,\infty)\). Следовательно, хотя бы один корень отрицателен.
A. Анализ источника. Главные объекты: квадратный трёхчлен и сравнение значений в выражениях u^2+4v^2 и 4uv.
B. Недостаточный первый ход. Подстановки u=0 или u=v дают только частные сведения.
C. Скрытое наблюдение. Пара (u^2+4v^2, 4uv) кодирует любые 0<=r<=q.
D. Нужный ход. Нужно заменить 2v новой переменной и доказать монотонность на неотрицательной полуоси.
E. Число идей. Три идеи: нормировка переменных, покрытие всех пар r<=q, графическое противоречие для двух неотрицательных корней.
F. Обоснование уровня. Региональный уровень 7: требуется скрытая параметризация, а не одна подстановка.
G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: после подстановки нужно ещё перейти от неравенства к монотонности и к свойствам корней.