Задача
ALG-B3-M02-P021 Одна ось для трёх парабол
Даны три квадратных многочлена \(A(x),B(x),C(x)\) с положительными старшими коэффициентами, каждый имеет два различных действительных корня. Если значения \(A(x)+B(x)\) в двух корнях \(C\) равны, значения \(B(x)+C(x)\) в двух корнях \(A\) равны, а значения \(C(x)+A(x)\) в двух корнях \(B\) равны, докажите, что суммы корней трёх многочленов равны.
Подсказка 1. Рассмотрите \(S(x)=A(x)+B(x)+C(x)\).
Подсказка 2. Квадратичная функция принимает равные значения в двух точках, симметричных относительно оси.
Пусть \(a_1,a_2\), \(b_1,b_2\), \(c_1,c_2\) - корни \(A,B,C\). Рассмотрим \(S=A+B+C\). В точках \(c_1,c_2\) имеем \(C(c_1)=C(c_2)=0\), поэтому равенство значений \(A+B\) даёт \(S(c_1)=S(c_2)\). Аналогично, \(S(a_1)=S(a_2)\) и \(S(b_1)=S(b_2)\). Так как \(S\) - квадратичный многочлен с положительным старшим коэффициентом, две разные точки с равными значениями симметричны относительно одной и той же оси \(x=d\). Следовательно, \(a_1+a_2=b_1+b_2=c_1+c_2=2d\).
A. Анализ источника. Главные объекты: три квадратичные функции и равенства значений в корнях другой функции.
B. Недостаточный первый ход. Работать с каждой парой отдельно неудобно и не связывает три оси.
C. Скрытое наблюдение. Сумма трёх многочленов имеет те же равенства значений в каждой паре корней.
D. Нужный ход. Нужно ввести S=A+B+C и использовать симметрию точек относительно оси параболы.
E. Число идей. Две идеи: подстановка корней и общая ось одной суммарной параболы.
F. Обоснование уровня. Региональный уровень 6: решение короткое, но требует объединить три условия в одну функцию.
G. Почему это не одношаговая задача. Это не одношаговая задача: без введения S условия выглядят независимыми.