Задача
ALG-B3-M03-P010 Монотонная аддитивность
#10
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и неубывает. Докажите, что \(f(x)=cx\) для некоторого \(c\).
Подсказка. Сначала докажите формулу на \(\mathbb Q\), затем используйте рациональные приближения.
На рациональных \(f(q)=qf(1)\). Пусть \(r_n\uparrow x\), \(s_n\downarrow x\) - рациональные последовательности. По монотонности \(f(r_n)\le f(x)\le f(s_n)\), то есть \(r_nf(1)\le f(x)\le s_nf(1)\) после учёта знака через стандартное приближение с двух сторон. Переходя к пределу, получаем \(f(x)=xf(1)\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.