Задача
ALG-B3-M03-P011 Ограниченность на интервале
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и \(|f(x)|\le10\) для всех \(x\in[0,1]\). Докажите, что \(f(x)=cx\).
Подсказка. Докажите непрерывность в нуле.
Если \(h\) мало, выберем \(n\) так, что \(0\le nh\le1\). Тогда \(|f(h)|=|f(nh)|/n\le10/n\), что стремится к нулю при \(h\to0\). Значит \(f\) непрерывна в нуле. Непрерывная аддитивная функция линейна: \(f(x)=xf(1)\).
Цель: показать, какие условия действительно заставляют функцию быть линейной или аффинной.