Задача
ALG-B3-M04-P002 Произвольный образ
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все сюръективные функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), для которых \(f(x+f(y))=f(x)+f(y)\) при всех \(x,y\).
Замените \(f(y)\) произвольным числом \(t\).
По сюръективности для любого \(t\in\mathbb R\) найдётся \(y\), такое что \(t=f(y)\). Значит, \(f(x+t)=f(x)+t\) для всех \(x,t\). При \(x=0\) получаем \(f(t)=f(0)+t\). Следовательно, \(f(x)=x+c\), где \(c=f(0)\). Проверка: \(f(x+f(y))=x+f(y)+c=f(x)+f(y)\). Ответ: все \(f(x)=x+c\), \(c\in\mathbb R\).
Отрабатывает основную технику использования сюръективности.