Задача
ALG-B3-M04-P003 Итерация даёт биекцию
#3
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\) удовлетворяет \(f(f(x))=x+1\) для всех \(x\in\mathbb Q\). Докажите, что \(f\) биективна.
Для инъективности сравните \(f(f(a))\) и \(f(f(b))\). Для сюръективности представьте произвольное \(T\) как значение функции.
Если \(f(a)=f(b)\), то \(f(f(a))=f(f(b))\). По условию \(a+1=b+1\), значит \(a=b\). Следовательно, \(f\) инъективна.
Пусть теперь \(T\in\mathbb Q\). Тогда \(f(f(T-1))=T\). Значит, \(T\) принадлежит образу функции \(f\). Так как \(T\) произвольно, \(f\) сюръективна. Итак, \(f\) биективна.
Это не задача на поиск функции, а на извлечение свойств из итерации.