Задача
ALG-B3-M04-P012 Золотое уравнение без рационального ответа
Докажите, что не существует \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), для которой \(f(x+f(y))=f(x)+f(y)+y\) при всех \(x,y\in\mathbb Q\).
Снова попробуйте получить \(f(x+t)=f(x)+f(t)-f(0)\).
Если \(f(a)=f(b)\), то сравнение уравнений при \(y=a\) и \(y=b\) даёт \(a=b\), поэтому \(f\) инъективна. Обозначим \(c=f(0)\). При \(x=0\): \(f(f(y))=c+f(y)+y\). Если \(t=f(y)\), то \(f(t)=c+t+y\), значит \(t+y=f(t)-c\). Следовательно, \(f(x+t)=f(x)+f(t)-c\). Отсюда \(g(x)=f(x)-c\) аддитивна, и на \(\mathbb Q\) \(g(x)=ax\).
Итак, \(f(x)=ax+c\). Подставим в исходное уравнение: \(a(x+ay+c)+c=ax+(a+1)y+2c\). Сравнение коэффициентов даёт \(a^2=a+1\) и \(c(a-1)=0\). Но уравнение \(a^2-a-1=0\) не имеет рациональных корней. Противоречие.
Та же архитектура, но ответ невозможен из-за области определения.