Задача
ALG-B3-M04-P013 Корень из двух из инъективности
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все возрастающие функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), для которых \(f(x+f(y))=f(x)+2y\) при всех \(x,y\).
Докажите \(f(f(y))=2y\), затем используйте монотонную аддитивность.
Если \(f(a)=f(b)\), то сравнение равенств при \(y=a\) и \(y=b\) даёт \(2a=2b\), значит \(a=b\). Функция инъективна. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), откуда \(f(0)=0\). При \(x=0\): \(f(f(y))=2y\), значит \(f\) сюръективна.
Пусть \(t=f(y)\). Тогда \(f(t)=2y\), поэтому \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). Функция аддитивна и возрастает, значит \(f(x)=cx\). Из \(f(f(y))=2y\) получаем \(c^2=2\), а возрастание даёт \(c>0\). Ответ: \(f(x)=\sqrt{2}x\). Проверка прямая.
Подходит после рациональных задач: на \(\mathbb R\) нужен регуляризатор, здесь монотонность.