Задача
ALG-B3-M04-P019 Условие, убивающее оба ответа
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Докажите, что не существует непрерывной \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такой что \(f(x+f(y))=f(x)+y\) для всех \(x,y\) и \(f(2)=3\).
Сначала решите уравнение без условия \(f(2)=3\).
При \(x=0\): \(f(f(y))=f(0)+y\). Отсюда, как обычно, следует инъективность. При \(y=0\): \(f(x+f(0))=f(x)\), поэтому \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(y))=y\).
Подстановка \(y=f(t)\) даёт \(f(x+t)=f(x)+f(t)\), то есть \(f\) аддитивна. Непрерывная аддитивная функция имеет вид \(f(x)=cx\). Из \(f(f(y))=y\) получаем \(c^2=1\), значит \(f(x)=x\) или \(f(x)=-x\). В первом случае \(f(2)=2\), во втором \(f(2)=-2\). Ни один случай не даёт \(3\). Противоречие.
Полезна как задача на полное решение, а не на локальную подстановку в данную точку.