Задача
ALG-B3-M04-P018 Скрытая обратная функция
Найдите все возрастающие функции \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), для которых \(f(f(x)+f(y))=x+y\) при всех \(x,y\).
Сначала докажите биективность, затем сравните \(f\) с обратной функцией.
Если \(f(a)=f(b)\), то из равенств с одинаковым \(y\) получаем \(a+y=b+y\), значит \(a=b\). Функция инъективна. Кроме того, любое \(T\) равно \(f(f(T)+f(0))\), поэтому \(f\) сюръективна. Пусть \(g=f^{-1}\).
Положив \(y=0\), получаем \(f(f(x)+f(0))=x\), значит \(g(x)=f(x)+f(0)\). Обозначим \(c=f(0)\). Тогда \(g(x)=f(x)+c\). Из исходного уравнения для \(x=y=g(0)\) получаем \(f(0)=2g(0)\). Но из \(g(0)=f(0)+c\) следует \(g(0)=2c\). Значит, \(c=4c\), откуда \(c=0\). Поэтому \(g=f\) и \(f(f(x))=x\).
Теперь для любых \(u=f(x)\), \(v=f(y)\) имеем \(f(u+v)=x+y=f(u)+f(v)\), потому что \(g=f\). Значит, \(f\) аддитивна. Возрастающая аддитивная функция имеет вид \(f(x)=ax\), где \(a>0\). Условие \(f(f(x))=x\) даёт \(a^2=1\), поэтому \(a=1\). Ответ: \(f(x)=x\).
Сложная задача с двумя идеями: построить обратную функцию и затем вывести аддитивность.