Задача
ALG-B3-M05-P011 Квадрат раскрывает линейность
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb R\to\mathbb R\) аддитивна и \(f(x^2)=x f(x)\) для всех \(x\). Докажите, что \(f(x)=cx\) для некоторой константы \(c\).
Раскройте \(f((x+y)^2)\) двумя способами.
По аддитивности \(f((x+y)^2)=f(x^2)+2f(xy)+f(y^2)\). С другой стороны, по условию это равно \((x+y)f(x+y)=(x+y)(f(x)+f(y))\). После сокращения \(x f(x)+y f(y)\) получаем \(2f(xy)=x f(y)+y f(x)\). Положим \(y=1\). Тогда \(2f(x)=x f(1)+f(x)\), значит \(f(x)=x f(1)\). Берём \(c=f(1)\).
Нетривиальное доказательство линейности без непрерывности.