Задача
ALG-B3-M05-P010 Два правила на натуральных
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Функция \(f:\mathbb N\to\mathbb N\) удовлетворяет \(f(mn)=f(m)f(n)\), \(f(n+1)=f(n)+2n+1\), \(f(1)=1\). Найдите \(f(n)\).
Второе условие уже задаёт рекурсию.
Из рекурсии получаем \(f(n+1)-f(n)=2n+1=(n+1)^2-n^2\). Так как \(f(1)=1=1^2\), по телескопической сумме \(f(n)=n^2\). Проверка мультипликативности: \(f(mn)=m^2n^2=f(m)f(n)\). Ответ: \(f(n)=n^2\).
Смешивает мультипликативность и рекурсивную форму Коши.