Задача
ALG-B3-M05-P013 Аддитивная итерация
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все аддитивные \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), для которых \(f(f(x))=4x\).
Аддитивность на \(\mathbb Q\) даёт \(f(x)=cx\).
Поскольку \(f\) аддитивна на \(\mathbb Q\), \(f(x)=cx\), где \(c\in\mathbb Q\). Тогда \(f(f(x))=c^2x\). Условие даёт \(c^2=4\), значит \(c=2\) или \(c=-2\). Ответ: \(f(x)=2x\) и \(f(x)=-2x\).
Композиция после Коши часто превращается в уравнение на коэффициент.