Задача
ALG-B3-M05-P014 Сдвиг и произведение
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), такие что \(f(x+y)=f(x)+f(y)-1\) и \(f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2\).
Положите \(g(x)=f(x)-1\).
Пусть \(g(x)=f(x)-1\). Тогда первое условие даёт \(g(x+y)=g(x)+g(y)\). Второе условие после подстановки \(f=g+1\) превращается в \(g(xy)=g(x)g(y)\). На \(\mathbb Q\) аддитивная функция имеет вид \(g(x)=cx\), а мультипликативность даёт \(c=0\) или \(c=1\). Значит, \(f(x)=1\) или \(f(x)=x+1\). Обе функции подходят.
Хорошая задача на знаки при сдвиге.