Задача
ALG-B3-M05-P015 Середины и инволюция
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все непрерывные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), если \(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)\) и \(f(f(x))=x\) для всех \(x\).
Первое условие делает функцию аффинной.
Из уравнения середин и непрерывности \(f(x)=ax+b\). Тогда \(f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+b(a+1)\). Это должно быть равно \(x\) при всех \(x\). Получаем \(a^2=1\) и \(b(a+1)=0\). Если \(a=1\), то \(b=0\), получаем \(f(x)=x\). Если \(a=-1\), то \(b\) произвольно, получаем \(f(x)=-x+b\). Все эти функции подходят.
Сочетает Jensen-тип и композицию.