ALG-B3-M05-P017 Кубическая поправка

Используйте тождество \((x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)\).

Положим \(g(x)=f(x)-\frac{x^3}{3}\). Тогда \(g(x+y)=f(x+y)-\frac{(x+y)^3}{3}=f(x)+f(y)+xy(x+y)-\frac{x^3+y^3+3xy(x+y)}{3}=g(x)+g(y)\). На \(\mathbb Q\) получаем \(g(x)=ax\). Ответ: \(f(x)=\frac{x^3}{3}+ax\), где \(a\in\mathbb Q\). Проверка следует из кубического тождества.

Олимпиадная версия: сначала распознать поправку, затем обычное Коши.