Задача
ALG-B3-M05-P018 Золотой коэффициент
#18
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все непрерывные \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) и \(f(x)f(y)=f(xy)+xy\) для всех \(x,y\).
Первое условие даёт \(f(x)=cx\).
Непрерывная аддитивность даёт \(f(x)=cx\). Тогда второе условие становится \(c^2xy=cxy+xy\) для всех \(x,y\). Значит, \(c^2=c+1\). Получаем \(c=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) или \(c=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\). Обе функции подходят.
Смешанное условие фиксирует необычный коэффициент.