Задача
ALG-B3-M05-P019 Единичный сдвиг
#19
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Q\to\mathbb Q\), такие что \(f(x+y)=f(x)+f(y)-1\) и \(f(xy)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2\).
После замены \(g=f-1\) должны получиться и аддитивность, и мультипликативность.
Положим \(g(x)=f(x)-1\). Тогда \(g(x+y)=g(x)+g(y)\). Второе условие даёт \(g(xy)+1=(g(x)+1)(g(y)+1)-(g(x)+1)-(g(y)+1)+2=g(x)g(y)+1\), значит \(g(xy)=g(x)g(y)\). На \(\mathbb Q\) из аддитивности \(g(x)=cx\). Мультипликативность даёт \(c=c^2\), откуда \(c=0\) или \(c=1\). Ответ: \(f(x)=1\) и \(f(x)=x+1\).
Повторяет важный hard-шаблон с полным решением.