Задача
ALG-B3-M06-P005 Вторые разности
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(0)=0\), \(f(1)=2\), и \(f(n+2)-2f(n+1)+f(n)=0\) для всех \(n\). Найдите \(f(n)\).
Покажите, что первые разности постоянны.
Условие эквивалентно \(f(n+2)-f(n+1)=f(n+1)-f(n)\). Значит, первые разности постоянны. Так как \(f(1)-f(0)=2\), имеем \(f(n+1)-f(n)=2\) для всех \(n\). Поэтому \(f(n)=2n\).
Дискретный аналог линейности.