Задача
ALG-B3-M06-P008 Биномиальная поправка
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), для которых \(f(m+n)=f(m)+f(n)+mn\).
Используйте \(\binom{m+n}{2}\).
Пусть \(B(n)=\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\). Тогда \(B(m+n)=B(m)+B(n)+mn\). Значит, \(g(n)=f(n)-B(n)\) аддитивна на \(\mathbb Z\), поэтому \(g(n)=cn\). Ответ: \(f(n)=\binom{n}{2}+cn\), где \(c\in\mathbb Z\).
Биномиальная форма удобна, потому что целая при всех целых \(n\).