Задача
ALG-B3-M06-P009 Уравнение середин на целых
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), такие что \(f(m+n)+f(m-n)=2f(m)\) для всех \(m,n\).
Посмотрите на первые разности.
Положим \(n=1\): \(f(m+1)+f(m-1)=2f(m)\). Это означает, что \(f(m+1)-f(m)=f(m)-f(m-1)\), то есть первые разности постоянны. Следовательно, \(f(n)=an+b\). Все такие функции действительно подходят.
Дискретная версия уравнения середин.