Задача
ALG-B3-M06-P012 Производная на натуральных
#12
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb N\to\mathbb Z_{\ge0}\), \(f(mn)=mf(n)+nf(m)\), и \(f(p)=p\) для каждого простого \(p\). Найдите \(f(n)\).
Разделите на \(n\): рассмотрите \(g(n)=\frac{f(n)}{n}\).
Из условия \(g(mn)=g(m)+g(n)\). Для простого \(p\) имеем \(g(p)=1\). Если \(n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\), то \(g(n)=a_1+\cdots+a_k\). Следовательно, \(f(n)=n(a_1+\cdots+a_k)\), то есть \(f(n)=n\Omega(n)\), где \(\Omega(n)\) - число простых множителей с кратностями.
Делимость и факторизация в функциональной форме.