Задача
ALG-B3-M06-P011 Квадратическое уравнение на целых
#11
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Пусть \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), \(f(0)=0\), \(f(1)=1\), и \(f(m+n)+f(m-n)=2f(m)+2f(n)\). Докажите, что \(f(n)=n^2\).
Поставьте \(n=1\) и получите рекурсию второго порядка.
При \(n=1\): \(f(m+1)+f(m-1)=2f(m)+2\). Поэтому \(f(m+1)-f(m)=f(m)-f(m-1)+2\). Обозначим \(d_m=f(m)-f(m-1)\). Тогда \(d_{m+1}=d_m+2\), а \(d_1=f(1)-f(0)=1\). Значит, \(d_m=2m-1\) для положительных \(m\), и суммирование даёт \(f(n)=1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\). Для отрицательных \(n\) из уравнения при \(m=0\) получаем \(f(-n)=f(n)\). Поэтому \(f(n)=n^2\) для всех целых \(n\).
Полное доказательство квадратического шаблона на \(\mathbb Z\).