Задача
ALG-B3-M06-P014 Прообраз на целых
#14
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), такие что \(f(n+f(m))=f(n)+m\) для всех целых \(m,n\).
Сначала докажите \(f(0)=0\) и \(f(f(m))=m\).
При \(n=0\): \(f(f(m))=f(0)+m\). Если \(f(a)=f(b)\), то \(f(f(a))=f(f(b))\), значит \(a=b\), поэтому \(f\) инъективна. При \(m=0\): \(f(n+f(0))=f(n)\), откуда \(f(0)=0\). Тогда \(f(f(m))=m\). Подставим \(m=f(t)\): \(f(n+t)=f(n)+f(t)\). Значит, \(f\) аддитивна на \(\mathbb Z\), то есть \(f(n)=cn\). Из \(f(f(n))=n\) следует \(c^2=1\). Ответ: \(f(n)=n\) и \(f(n)=-n\).
Связывает этот модуль с предыдущим модулем о биективности.