Задача
ALG-B3-M06-P015 Сдвиг и инволюция
#15
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все \(f:\mathbb Z\to\mathbb Z\), такие что \(f(m+n)=f(m)+f(n)+2\) и \(f(f(n))=n\).
Положите \(g(n)=f(n)+2\).
Для \(g(n)=f(n)+2\) получаем \(g(m+n)=g(m)+g(n)\). Значит, \(g(n)=an\), где \(a\in\mathbb Z\), и \(f(n)=an-2\). Тогда \(f(f(n))=a(an-2)-2=a^2n-2a-2\). Это равно \(n\) для всех \(n\), поэтому \(a^2=1\) и \(-2a-2=0\). Следовательно, \(a=-1\). Ответ: \(f(n)=-n-2\).
Хорошая задача на правильный знак сдвига.