Задача
ALG-B3-M07-P001 Аддитивный многочлен
#1
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(x+y)=P(x)+P(y)\) для всех \(x,y\).
Сравните смешанные члены старшей степени.
При \(y=0\) получаем \(P(0)=0\). Если степень \(P\) не меньше \(2\), то в \(P(x+y)\) возникает смешанный член старшей степени, которого нет в \(P(x)+P(y)\). Значит, \(P\) линейный или нулевой. Поэтому \(P(x)=ax+b\), а \(P(0)=0\) даёт \(b=0\). Ответ: \(P(x)=ax\).
Базовая задача на степень.