Задача
ALG-B3-M07-P002 Многочлен середин
#2
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), для которых \(P(x+y)+P(x-y)=2P(x)\).
Проверьте многочлен степени \(d\ge2\).
Пусть \(P\) имеет степень \(d\ge2\) и старший коэффициент \(a\). В левой части старшая часть равна \(a((x+y)^d+(x-y)^d)\), а справа \(2ax^d\). При раскрытии появляется член с \(y^2x^{d-2}\), если \(d\ge2\), что невозможно. Значит, \(d\le1\). Все линейные многочлены \(P(x)=ax+b\) подходят.
Jensen-type уравнение без непрерывности, потому что функция уже многочлен.