Задача
ALG-B3-M07-P007 Мультипликативный многочлен
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), такие что \(P(xy)=P(x)P(y)\).
Не забудьте постоянные решения и ненулевые корни.
Постоянные решения: \(P=0\), \(P=1\). Пусть \(P\) непостоянен. Тогда \(P(1)=1\). Если \(r\ne0\) и \(P(r)=0\), то \(P(ry)=0\) для всех \(y\), значит \(P\equiv0\), противоречие. Поэтому все корни, если есть, равны \(0\), и \(P(x)=ax^n\). Подстановка даёт \(a=a^2\), откуда \(a=1\). Ответ: \(0\), \(1\), \(x^n\), \(n\ge1\).
Первый серьёзный корневой аргумент.