Задача
ALG-B3-M07-P006 Квадратичная разность
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(P\in\mathbb R[x]\), если \(P(x+1)-P(x)=x^2\).
Найдите многочлен, разность которого равна \(x^2\).
Известно, что \(F(x)=\frac{x(x-1)(2x-1)}{6}\) имеет разность \(F(x+1)-F(x)=x^2\). Тогда \(Q=P-F\) периодичен с периодом \(1\), значит постоянен. Ответ: \(P(x)=\frac{x(x-1)(2x-1)}{6}+c\).
Конечная разность степени \(2\) поднимает степень до \(3\).