Задача
ALG-B3-M07-P020 Тройка с нулевой суммой
#20
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(P\in\mathbb R[x]\) и \(P(x)+P(y)+P(-x-y)=0\) для всех \(x,y\). Найдите \(P\).
Посмотрите на старшую однородную часть и положите \(y=x\).
Пусть степень \(P\) равна \(d\), старший коэффициент \(a\ne0\). Старшая часть равенства равна \(a(x^d+y^d+(-x-y)^d)\). При \(y=x\) получаем \(a(2+(-2)^d)x^d\). Если \(d\ge2\), этот коэффициент не равен нулю: при чётном \(d\) он положителен, при нечётном \(d\ge3\) равен \(2-2^d\). Значит, \(d\le1\). Пусть \(P(x)=ax+b\). Подстановка даёт \(a(x+y-x-y)+3b=0\), поэтому \(b=0\). Ответ: \(P(x)=ax\), включая \(a=0\).
Финальная задача на старшую часть многочлена.